Beitrag zum Jahr der Mathematik 2008
Neue bisher unbekannte, elementare Formeln für Dreiecke
Nonfiction, Science & Nature, Mathematics, Geometry
| Author: | Hugo Wehrle | ISBN: | 9783638057837 |
| Publisher: | GRIN Publishing | Publication: | June 3, 2008 |
| Imprint: | GRIN Publishing | Language: | English |
| Author: | Hugo Wehrle |
| ISBN: | 9783638057837 |
| Publisher: | GRIN Publishing |
| Publication: | June 3, 2008 |
| Imprint: | GRIN Publishing |
| Language: | English |
Scientific Study from the year 2008 in the subject Mathematics - Geometry, , language: English, abstract: Mathematik ist die Liebe zur Weisheit, die Philosophie des Unendlich-Vielfältigen. Daher ist es auch kein Wunder, daß der erste Philosoph, - wie Aristoteles sagte -, auch ein Mathematiker ist, nämlich Thales von Milet (625-547 v.Chr.), der die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 v. Chr. richtig vorhersagte. Seit über zweieinhalb Jahrtausenden beschäftigt sich also die Menschheit schon mit geometrischen Gebilden, wie Geraden, Dreiecke, Vierecke oder Pyramiden! Unter den alten Geometern finden sich der um 600 v. Chr. geborene, schulbekannte Pythagoras, der eine geheime Bruderschaft gründete; Zenon von Elea (490-430), der mit scharfsinnigen Paradoxien durch reine Überlegung schon der 'Quantennatur der Geometrie' auf die Schliche kam; Platon (427-347), ein Schüler Sokrates, der nur den Ideen eigentliche Realität zusprach, und unsere Sicht der Welt im Höhlengleichnis als nur schattenhaft erkannte; der um 300 v. Chr. in Alexandria lebende Euklid, der schließlich das erste axiomatisch aufgebaute 13-bändige, mathematische Werk verfaßte, nach dessen Geometrie noch heute alle Schüler unterrichtet werden, -nur das Beweisen scheint heute an den Schulen außer Mode gekommen zu sein; Archimedes von Syrakus (285-212), der nicht nur die Kreiszahl ?, sonder beispielsweise auch äußerst elegant das Kugelvolumen berechnete; und die vielen, vielen anderen. Alle Gelehrten und Kosmologen beschäftigten sich mit dieser idealisierten Welt der Zahlen und des Raumes, angefangen von Aristarchos von Samos (320-250), der als erster das heliozentrische Weltbild lehrte, nachdem sich die Erde um die Sonne dreht, bis hin zu dem im 2. Jahrhundert nach Christus in Alexandria lebenden Claudius Ptolemäus, dessen geozentrisches Weltbild sich für Jahrhunderte durchsetzen sollte, (- würde sich nicht jede Fliege als Mittelpunkt der Welt betrachten? -), bis Kopernikus, Galilei und Kepler uns endgültig eines besseren belehren sollten. Bald wird wohl die Anzahl der heute auf der Erde lebenden Mathematiker größer sein, als alle einst in den vergangenen Jahrtausenden lebenden bzw. gestorbenen, zusammen genommen! Und sie haben sich alle schon mit Dreiecken beschäftigt! Könnte da noch etwas über das Dreieck unentdeckt geblieben sein? Können Sie sich vorstellen, daß es für das Dreieck noch Formeln gibt, die in keinem Buch und keiner Formelsammlung zu finden sind? Ja, dies ist der Fall, oder kennen Sie etwa die Formel, daß das Produkt der Dreiecksseiten dividiert durch seine Summe (auch Umfang genannt) gleich dem doppelten Produkt seiner beiden Radien des In- und Umkreises, - die sog. Wehrle-Zahl des Dreiecks-, ist? Oder wissen Sie, daß im rechtwinkligen Dreieck der Inkreis-Durchmesser gleich der um die größte Seite (auch Hypotenuse genannt) verminderte Summe der kleineren Seiten (auch Katheten genannt) ist, daß die Summe der am rechten Winkel anliegenden Seiten gleich der Summe der Durchmesser ist? Und daß das halbe Produkt dieser zwei Seiten, -die Dreiecksfläche also-, gleich der Summe der Wehrle-Zahl und dem vierten Teil der Wehrle-Zahl der Differenzen ist: A = w + ¼w*. Dieser letztere 'Differenzen-Wehrle' ist das Quadrat des Durchmessers des Inkreises! Kennen Sie das kleinste, diskrete gleichschenklige Dreieck, oder das kleinste, nicht-rechtwinklige, rationale Dreieck, das aus nur natürlichen Seitenlängen besteht? Wissen Sie, welche Vierecke einen In- und Umkreis haben, oder kennen Sie deren doppelte Radienprodukte? Kennen sie diskrete Kreisvierecke, diskrete Sehnenvierecke ohne Inkreis gar? Wie heißt der dreidimensionale Satz des Pythagoras, oder wissen Sie, welche rechtwinklige Pyramide mit ganzzahligen Katheten den Inkugelradius r=1 hat? Wissen Sie, daß der Inkugelmittelpunkt rechtwinkliger Tetraeder Mi = (r; r; r) mit r = abc / [(ab+ac+bc)+?(a²b²+a²c²+b²c²)] ist; und das Umkugelzentrum Mu = (a/2; b/2; c/2) mit Radius R = ½?(a²+b²+c²) ist? Und was gilt für das Radienprodukt bei den allgemeinen Pyramiden? Wissen, wie man das Volumen und den Umkugelradius einer Pyramide nur über die Kantenlängen berechnet! Sicherlich kennen Sie auch die Fehringer-Formel für das allgemeine Tetraeder noch nicht!
Scientific Study from the year 2008 in the subject Mathematics - Geometry, , language: English, abstract: Mathematik ist die Liebe zur Weisheit, die Philosophie des Unendlich-Vielfältigen. Daher ist es auch kein Wunder, daß der erste Philosoph, - wie Aristoteles sagte -, auch ein Mathematiker ist, nämlich Thales von Milet (625-547 v.Chr.), der die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 v. Chr. richtig vorhersagte. Seit über zweieinhalb Jahrtausenden beschäftigt sich also die Menschheit schon mit geometrischen Gebilden, wie Geraden, Dreiecke, Vierecke oder Pyramiden! Unter den alten Geometern finden sich der um 600 v. Chr. geborene, schulbekannte Pythagoras, der eine geheime Bruderschaft gründete; Zenon von Elea (490-430), der mit scharfsinnigen Paradoxien durch reine Überlegung schon der 'Quantennatur der Geometrie' auf die Schliche kam; Platon (427-347), ein Schüler Sokrates, der nur den Ideen eigentliche Realität zusprach, und unsere Sicht der Welt im Höhlengleichnis als nur schattenhaft erkannte; der um 300 v. Chr. in Alexandria lebende Euklid, der schließlich das erste axiomatisch aufgebaute 13-bändige, mathematische Werk verfaßte, nach dessen Geometrie noch heute alle Schüler unterrichtet werden, -nur das Beweisen scheint heute an den Schulen außer Mode gekommen zu sein; Archimedes von Syrakus (285-212), der nicht nur die Kreiszahl ?, sonder beispielsweise auch äußerst elegant das Kugelvolumen berechnete; und die vielen, vielen anderen. Alle Gelehrten und Kosmologen beschäftigten sich mit dieser idealisierten Welt der Zahlen und des Raumes, angefangen von Aristarchos von Samos (320-250), der als erster das heliozentrische Weltbild lehrte, nachdem sich die Erde um die Sonne dreht, bis hin zu dem im 2. Jahrhundert nach Christus in Alexandria lebenden Claudius Ptolemäus, dessen geozentrisches Weltbild sich für Jahrhunderte durchsetzen sollte, (- würde sich nicht jede Fliege als Mittelpunkt der Welt betrachten? -), bis Kopernikus, Galilei und Kepler uns endgültig eines besseren belehren sollten. Bald wird wohl die Anzahl der heute auf der Erde lebenden Mathematiker größer sein, als alle einst in den vergangenen Jahrtausenden lebenden bzw. gestorbenen, zusammen genommen! Und sie haben sich alle schon mit Dreiecken beschäftigt! Könnte da noch etwas über das Dreieck unentdeckt geblieben sein? Können Sie sich vorstellen, daß es für das Dreieck noch Formeln gibt, die in keinem Buch und keiner Formelsammlung zu finden sind? Ja, dies ist der Fall, oder kennen Sie etwa die Formel, daß das Produkt der Dreiecksseiten dividiert durch seine Summe (auch Umfang genannt) gleich dem doppelten Produkt seiner beiden Radien des In- und Umkreises, - die sog. Wehrle-Zahl des Dreiecks-, ist? Oder wissen Sie, daß im rechtwinkligen Dreieck der Inkreis-Durchmesser gleich der um die größte Seite (auch Hypotenuse genannt) verminderte Summe der kleineren Seiten (auch Katheten genannt) ist, daß die Summe der am rechten Winkel anliegenden Seiten gleich der Summe der Durchmesser ist? Und daß das halbe Produkt dieser zwei Seiten, -die Dreiecksfläche also-, gleich der Summe der Wehrle-Zahl und dem vierten Teil der Wehrle-Zahl der Differenzen ist: A = w + ¼w*. Dieser letztere 'Differenzen-Wehrle' ist das Quadrat des Durchmessers des Inkreises! Kennen Sie das kleinste, diskrete gleichschenklige Dreieck, oder das kleinste, nicht-rechtwinklige, rationale Dreieck, das aus nur natürlichen Seitenlängen besteht? Wissen Sie, welche Vierecke einen In- und Umkreis haben, oder kennen Sie deren doppelte Radienprodukte? Kennen sie diskrete Kreisvierecke, diskrete Sehnenvierecke ohne Inkreis gar? Wie heißt der dreidimensionale Satz des Pythagoras, oder wissen Sie, welche rechtwinklige Pyramide mit ganzzahligen Katheten den Inkugelradius r=1 hat? Wissen Sie, daß der Inkugelmittelpunkt rechtwinkliger Tetraeder Mi = (r; r; r) mit r = abc / [(ab+ac+bc)+?(a²b²+a²c²+b²c²)] ist; und das Umkugelzentrum Mu = (a/2; b/2; c/2) mit Radius R = ½?(a²+b²+c²) ist? Und was gilt für das Radienprodukt bei den allgemeinen Pyramiden? Wissen, wie man das Volumen und den Umkugelradius einer Pyramide nur über die Kantenlängen berechnet! Sicherlich kennen Sie auch die Fehringer-Formel für das allgemeine Tetraeder noch nicht!
